مقدمة

يعرف التأمين باسم ''علم وفن نشر المخاطر" [Baker et al. (2002), pp. 2–3]. ويعتمد التأمين على مشاركة العديد من الوحدات المعرضة لخطر ما لتقاسم عبء تلك القلة التي ألمت بها الخسارة. وتعمل أسواق التأمين بأكبر قدر من الكفاءة عندما تعزو الخسائر الفردية إلى مسببات خطر عشوائية، ويمكن قياسها بسهولة، ولا يوجد ارتباط بين الوحدات المعرضة للخطر. في مثل هذه الحالات، يمكن نشر الخسائر بكفاءة عبر عدد كبير من حاملي وثائق التأمين، أيضا يتم تدنية خطر الفشل لشركات التأمين المباشرة. وعلى الرغم من أن هذه الظروف نادرا ما تتحقق بالنسبة لأغلب المخاطر التي يتم تغطيتها، إلا أنه يمكن التحكم في العيوب الصغيرة التي تشوه توزيع الخسائر الإجمالية من خلال ضوابط الاكتتاب، وإنشاء احتياطيات كافية.

ومع التطورات المعاصرة الهائلة في مختلف النواحي الاقتصادية والاجتماعية والتكنولوجية تطورت صناعة التامين تطورا مذهلا في مختلف دول العالم، بحيث تحدت حدود الوطن وأخذت طابعا دوليا، فظهرت الهيئات والشركات والكيانات المتخصصة والمحترفة في مجال أنشطة وخدمات التأمين. وانطلاقا من نفس المبدأ ونتيجة لذات التطورات بدأت شركات التأمين تواجه نفس المخاطر والكوارث التي تهدد احتياطاتها وقدرتها المالية وتنذر بتعرضها لخسائر هائلة يترتب عليها تهديد النشاط التأميني ككل. ومن هنا نشأت فكرة إعادة التأمين، والتي يمكن القول أنها استندت في نشأتها الى نفس مبررات ودواعي نشأة نشاط التأمين نفسه.

إن إعادة التأمين هي الآلية التقليدية لنقل وإدارة المخاطر في صناعة التأمين. توفر شركات إعادة التأمين عدة أنواع من ترتيبات إعادة التأمين لشركات التأمين الابتدائي، في كثير من الأحيان تدعى "الشركات المتنازلة" أو "المسندة" cedants. ويشمل هذا أنواع مختلفة من إعادة التأمين نسبية ولا نسبية. تساعد إعادة التأمين شركات التأمين على إدارة مخاطرها من خلال استيعاب بعض خسائرها، حيث تعمل على استقرار نتائج شركات التأمين وتمكينها من الاستمرار في النمو والابتكار. ونظرًا للمبالغ الكبيرة من الأموال التي يستثمرها معيدو التأمين في الأسواق المالية، فإنهم يساهمون أيضًا بشكل كبير في الاقتصاد الحقيقي. [Swiss Re, 2012]

أهمية البحث

تسعى شركات التأمين إلى المحافظة على استقرارها المالي, ويعتمد ذلك على مدى قدرتها على مواجهة الأخطار المؤمن عليها وخصوصا الكبيرة منها. ولكي تحافظ شركات التأمين على استقرارها المالي كان عليها إما أن ترفع رأس مالها – وهي عملية مكلفة جدا وقد لا تحظى بالقبول من طرف المساهمين، أو أن تلجأ إلى وسائل اخرى تمكنها من التحكم في حجم الخسائر التي تتعرض لها نتيجة عملياتها الاكتتابية.

الطريقة التقليدية لنقل الخطر الذي يتعدى الطاقة الاستيعابية لشركة التأمين هي إعادة التأمين. وعند اتخاذ قرار اللجوء لإعادة التأمين، فإن شركة التأمين تواجه العديد من الخيارات الممكنة التي تشمل نوع إعادة التأمين ومداه.

تنبع أهمية البحث في أنه يعرض نموذج رياضي مبسط يمكن لشركات التأمين استخدامه عند اتخاذ قرار شراء إعادة التأمين للمقارنة بين الترتيبات المختلفة، حيث يُمكن النموذج الشركة من حساب التكلفة الفعلية لعملية إعادة التأمين بناء على قيم فعلية لنتائج أعمالها واتجاهها نحو الخطر. كما يتيح النموذج لشركات التأمين المقارنة بين تكلفة إعادة التأمين والأساليب الأخرى التي يمكن أن تتبعها الشركة لتحويل جزء من مخاطرها.

هدف البحث

على الرغم من أن إعادة التأمين تخفض حجم المخاطر التي تتعرض لها شركة التأمين المباشرة، إلا أنها تخفض أيضًا من الربح المحتمل للشركة. وبناء على هذا فإن اختيار نوع إعادة التأمين وحجمه له أثر كبير على نتائج الشركة المالية. الهدف من هذه الدراسة هو اشتقاق ترتيبات إعادة التأمين المثلى من خلال تطوير نماذج تحليل القرار وتوضيحها لقرارات إعادة التأمين التي تتخذها شركات التأمين المباشرة. حيث تعتبر النماذج التحليلية للقرار أدوات مفيدة لهيكلة قرارات إعادة التأمين ومقارنة الخيارات البديلة. يتم تحديد قيمة أي بديل لإعادة التأمين كأثر لعملية إعادة التأمين هذه على المنفعة المتوقعة لأصول المؤمن.

مشكلة البحث

يواجه المؤمِّن العديد من الخيارات المحتملة التي تتعلق باسناد الخطر الزائد عن طاقته الاستيعابيه لطرف آخر. فإذا كان الطرف المسند إليه هو معيد تأمين فإن القرار يشمل تحديد نوع ومبلغ أو نسبة إعادة التأمين. وغالبًا ما يكون برنامج إعادة التأمين الجيد والفعال أمرًا بالغ الأهمية لنجاح شركة التأمين، حيث إن إعادة التأمين تعتبر عادةً واحدة من أهم المعاملات المالية لشركة التأمين وكذلك لمعيد التأمين، والتي تنطوي على معاملات مالية ضخمة جدا سنويًا، ومن ثم فإنها تشكل عنصر استراتيجي حاسم في إدارة تقلب الأرباح وكفاية رأس المال.

وبناء على هذا، كانت هناك حاجة لتطوير اساليب تحليل القرار للتعامل مع قرارات إعادة التأمين. تتمثل المشكلة الرئيسة لهذا البحث في كيفية تحديد قيمة إعادة التأمين والتي تمكن متخذي قرار شراء إعادة التأمين في شركة التأمين من التفاوض مع وسطاء إعادة التأمين. وتكون المشكلة الأساسية في نموذج التقييم هي تحديد أقصى سعر (الحد الأعلى) لقسط إعادة التأمين الذي يجب على الشركة المسندة دفعه في حالة معينة، في ظل أن تحقق الشركة أقصى منفعة متوقعة على أصولها.

منهجية البحث

تم تصميم هذه الدراسة لتحليل عملية اتخاذ القرار فيما يتعلق بشراء إعادة التأمين ودراسة تكلفته ونوعه والبدائل المتاحة أمام شركات التأمين المسندة.

ومن أجل تحقيق هذا الغرض تم الاطلاع على الكتب والدوريات والمراجع وقواعد البيانات العربية والعالمية التي تناولت هذا الموضوع لصياغة الجانب النظري من الدراسة والذي يوضح معنى وأهمية عملية إعادة التأمين والترتيبات المختلفة لها والمناهج المتبعة لتحديد تكلفة إعادة التأمين.

كما تم الاطلاع على التقارير المالية السنوية عن نشاط التأمين واستخراج البيانات منها فيما يتعلق بموضوع الدراسة، واجراء تسوية للبيانات باستبعاد القيم الشاذة منها، ثم استخدام حزمة gamlss في البرنامج الاحصائي R لتحديد توزيع الخسارة المناسب لكل نوع من أنواع التأمين التي تم دراستها حتى يتسني اجراء الجانب التطبيقي من الدراسة.

تم تطبيق الدراسة على أنواع رئيسية محددة من تأمينات الممتلكات، وحساب معلمات توزيع الخسارة والقيمة المتوقعة للخسارة لكل نوع، ثم حساب قيمة قسط إعادة التأمين باستخدام دالة منفعة أسية.

وانتهت الدراسة بحساب قيم أقساط إعادة التأمين بناء على حدود ونسب احتفاظ مختلفة، مع درجات مختلفة لتجنب الخطر، كذلك تم احتساب القيمة المتوقعة للخطر، وهي تعادل سعر الخطر السوقي وذلك في ظل أن المؤمن غير مبال بالخطر أو لديه اتجاه محايد تجاه الخطر. بناء على هذه الحسابات يستطيع المؤمن اختيار اتفاقية اعادة التأمين المناسبة له وحدود هذه الاتفاقية.

حدود البحث

تم تطبيق هذه الدراسة على الأنواع الرئيسية من تأمينات الممتلكات والمسؤولية في شركة مصر للتأمين وذلك للفترة من 2007/2008 م وحتى 2020/2021 م. الأنواع التي تم دراستها هي: تأمين الحريق، التأمين البحري، تأمين السفن، تأمين الطيران، التأمين الهندسي، تأمين البترول.

خطة البحث

يتكون البحث من الموضوعات التالية:

أولا: آلية عمل إعادة التأمين

ثانيا: المناهج المستخدمة لتحديد تكلفة إعادة التأمين

ثالثا: الاطار النظري لنموذج اتخاذ قرار إعادة التأمين

رابعا: التطبيق العملي للنموذج

النتائج والتوصيات

أولا: آلية عمل إعادة التأمين

يتحصن الأفراد والشركات التجارية المعرضة للمخاطر القابلة للتأمين من هذه المخاطر عن طريق نقل المخاطر إلى شركة تأمين أساسية. يدفع المؤمن لهم أقساطا إلى شركة التأمين الاساسية ويحصلون على وعود مشروطة أن المؤمن سوف يسدد لهم الخسائر عن الأحداث المؤمن عليها المحددة. يحتفظ المؤمن بمعظم المخاطر المقبولة لحسابه الخاص. ولأن شركة التأمين الأساسية تغطي العديد من المؤمن لهم، الذين تكون مخاطرهم في الغالب مستقلة إحصائيا، فإن شركات التأمين قادرة على تقليل المخاطر بشكل كبير من خلال التنويع.

ومع ذلك، لا يزال هناك بعض المخاطر متبقية لأسباب مختلفة، بما في ذلك الارتباط بين المخاطر، والطفرات في الخسائر الناجمة عن تقلبات عشوائية بحتة، والكوارث الطبيعية، وغيرها من العوامل. ويمكن لشركة التأمين الأساسي نقل بعض من هذه المخاطر المتبقية إلى شركات إعادة التأمين في مقابل سداد قسط. وفي المقابل تحتفظ شركات إعادة التأمين التقليدية بالمخاطر داخليا وتزيد من تنويع المخاطر من خلال إصدار وثائق لكثير من شركات التأمين الابتدائية من مناطق جغرافية مختلفة. غير أن هذا التنويع يقلل لكن لا يقضي نهائيا على المخاطر. يمكن لشركة إعادة التأمين التحوط من جزءا من المخاطر المتبقية من خلال إسناد (إعادة) إعادة التأمين، أي شراء إعادة التأمين من شركة إعادة تأمين أخرى.

إعادة التأمين هي الأسلوب التقليدي ومازال النموذج السائد لتنويع ونقل المخاطر في صناعة التأمين. يخلق معيدو التأمين أيضا قيمة اقتصادية وأحيانا يكسبوا دخلا من فرض الرسوم على تقديم استشارات متعلقة بالاكتتاب والتسعير والاستثمار للمؤمن الابتدائي. وقد مكنت الخبرة الواسعة لشركات إعادة التأمين الرائدة والتي يمتد عملها في جميع أنحاء العالم من تطوير خبرة واسعة في الاكتتاب في التأمين والتسعير وإدارة التعرض للخسائر، وتصميم منتجات جديدة، وتوسيع نطاق عملياتهم الجغرافي، ومن ثم فإن شركات إعادة التأمين تقدم قيمة اقتصادية مهمة لعملائها وتساعدهم في تصميم منتجات جديدة. وغالباً ما تقوم شركات التأمين صغيرة ومتوسطة الحجم بشراء إعادة التأمين للمساعدة في تمويل النمو في ضوء الضغوط المفروضة على رأس مال الأسهم من خلال كتابة أعمال جديدة. [Swiss Re, 2012]

وتنقسم عقود إعادة التأمين إلى نوعين، عقود إعادة تأمين لوثائق التأمين على الحياة وعقود إعادة تأمين لوثائق تأمينات الممتلكات والمسؤولية، ويأخذ كل منهما شكلين أساسيين، إعادة التأمين بموجب اتفاقية وإعادة التأمين الاختيارية. إعادة التأمين بموجب اتفاقية treaty reinsurance هي إعادة تأمين لمحفظة كاملة حيث يتنازل المؤمن لمعيد التأمين عن حصة متفق عليها تعاقديًا من المخاطر المحددة في الاتفاقية. من ناحية أخرى، فإن إعادة التأمين الاختيارية facultative reinsurance هي إعادة تأمين للمخاطر الفردية. على عكس إعادة التأمين بموجب اتفاقية التي يجب على معيد التأمين بموجبها أن يقبل جميع المخاطر المغطاة، يقوم معيد التأمين في الطريقة الاختيارية بتقييم الخصائص الفريدة لكل وثيقة لتحديد ما إذا كان يجب إعادة التأمين على المخاطر، وبأي سعر، وبالتالي يحتفظ معيد التأمين الاختياري بالرأي، أو الخيار، لقبول أو رفض أي خطر [Swiss Re, 2004] .

يمكن أن تكون إعادة التأمين الاختيارية والتأمين بموجب اتفاقيات إما نسبية أو لا نسبية. في ترتيبات إعادة التأمين النسبي proportional arrangement، تحتفظ الشركة المسندة بنسبة مئوية من المخاطر المؤمن عليها وتتنازل عن النسبة المتبقية إلى معيد التأمين. ويتم تحديد استرداد المطالبات من معيدي التأمين بموجب هذه النسبة المتنازل عنها. بالنسبة لترتيبات إعادة التأمين اللا نسبية non-proportional، توافق الشركة المسندة على قبول مبلغ محدد من الخسارة يشار إليه على أنه الاحتفاظ، وتتنازل عن جميع المبالغ التي تزيد عن هذا الاحتفاظ إلى شركة إعادة التأمين وفقًا للحدود التعاقدية لترتيب إعادة التأمين. يتم الاتفاق على عقد إعادة التأمين وصياغته من قبل كل من شركة التأمين ومعيد التأمين. يصبح معيد التأمين ملزماً فقط بتعويض المؤمن بعد أن تكبد ودفع خسارة تغطيها وثائق التأمين وضمن نطاق عقد إعادة التأمين بين الطرفين.

ثانيا: المناهج المستخدمة لتحديد تكلفة إعادة التأمين

هناك العديد من النماذج التي تم استخدامها لدراسة مشكلة قيمة إعادة التأمين المثلى بناء على افتراضات مختلفة وباستخدام مقاييس مختلفة لحساب مخاطر التأمين المباشرة

2. 1 نموذج المتوسط التباين Mean – Variance Model

يبنى نموذج المتوسط - التباين على تعظيم الأقساط المحتفظ بها إلى الحد الأقصى وتدنية تباين المطالبات المحتفظ بها مع الحفاظ على ثبات التعرض للمخاطر، بافتراض مستوى معين من الرغبة في المخاطرة.

ناقش  Borch (1960)  كيفية تحديد المقدار الأمثل من إعادة تأمين وقف الخسارة باستخدام طريقة تدنية تباين الخسارة المحتفظ بها، إذا تم حساب الأقساط باستخدام مبدأ القيمة المتوقعة. وقدم Karageyik and Sahin (2017) مستويات الاحتفاظ المثلى مع احتمالية البقاء والربح المتوقع والتباين والعجز المتوقع لمخاطر شركة التأمين المباشرة. افترضت الدراسة أن المبالغ الإجمالية للمطالبة كانت تتبع توزيعات Poisson المركبة وأن مبالغ المطالبات الفردية كانت تتبع التوزيع الأسي. حدد المؤلفون مستويات الاحتفاظ المثلى اعتمادًا على نهجين: الأول هو تعظيم الربح المتوقع واحتمال البقاء، والثاني تقليل التباين المتوقع لمخاطر شركة التأمين المباشرة. أيضًا، حللت الدراسة مستويات الاحتفاظ المثلى في ظل مبادئ القيمة المتوقعة والانحراف المعياري.

2. 2 نموذج التعثر  Ruin Model

يدرس نموذج احتمال أن مستوى فائض الشركة ينخفض إلى ما دون الصفر في وقت ما في المستقبل [Dickson, 2005: 125]. وهذا لا يعني أفلاس شركة التأمين ولكن يعني ضرورة اتخاذ إجراءات تصحيحية معينة سواء داخلية أو من جهات الإشراف والرقابة.

درس Dickson, et al (1996) و Dickson, (2005) تأثير إعادة التأمين على احتمال التعثر النهائي في عملية الفائض الكلاسيكية واعتبر أن مستوى الاحتفاظ هو الأمثل إذا كان يخفض من احتمالية التعثر. وأوضح أنه يمكن العثور على مستويات الاحتفاظ المثلى عندما يعتمد تحميل قسط معيدي التأمين على مستوى الاحتفاظ. أوضح أيضًا أنه عندما يتم تقريب عملية المطالبات الإجمالية من خلال عملية جاما، يمكن الحصول على تقديرات تقريبية جيدة جدًا لكل من مستويات الاحتفاظ المثلى واحتمالات التعثر. أخيرًا، ناقش تأثير إعادة التأمين على احتمالية التعثر في وقت محدد.

ناقش Waters (1979, 1983) المستويات المثلى لإعادة تأمين الجزء الزائدة من الخسارة باستخدام احتمال التعثر. تفترض الدراسة أن المطالبات الكلية هي عملية بواسون المركبة. عرضت الدراسة ثابت الإعسار للتأمين المباشر ودالة مستوى الاحتفاظ بإعادة تأمين الجزء الزائد من الخسارة. وجدت الدراسة أن إعادة التأمين اللا نسبية لا يمكن أن تكون ممكنة لتعميم توزيع المطالبات السنوية.

2. 3 نموذج القيمة المعرضة للخطر Value-at-Risk (VaR)

إن أسلوب تحليل القيمة المعرضة للخطر هو أحد الأساليب الشائعة في إدارة المخاطر المالية. القيمة المعرضة للخطر (VaR) هي أسوأ خسارة محتملة تحدث في فترة زمنية معينة في ظل ظروف السوق العادية عند مستوى ثقة معين. يمكن أيضًا استخدام القيمة المعرضة للخطر لدراسة أخطار الإعسار للمؤمِّنين. [Rejda (2017), p. 103]

ناقش Cai et al. (2007, 2008) الاحتفاظ الأمثل في إعادة التأمين اللا نسبية لوقف الخسارة في ظل تقليل القيمة المعرضة للخطر (VaR) والتوقع الشرطي للذيل Conditional Tail Expectation (CTE). وعرضت الدراسة الاحتفاظ الأمثل باستخدام توزيع الخسائر لشركة التأمين المباشر ومعامل تحميل الأمان لشركة إعادة التأمين. أظهرت نتائج الدراسة أن إعادة تأمين وقف الخسارة هي الأمثل في بعض الحالات، وفي حالات أخرى، تكون إعادة التأمين على أساس الحصص هي الأمثل وذلك على حسب التغير في خبرة الخسارة.

قدم Chi et al. (2017)  مشكلة إعادة التأمين المثلى من منظور شركة التأمين مع تقليل القيمة المعدلة للمخاطر لمسؤولية شركة التأمين المباشر باستخدام مقاييس المخاطر مثل القيمة المعرضة للخطر (VaR) أو القيمة المشروطة المعرضة للخطر (CVaR) . افترضت الدراسة أن شركة التأمين المباشر وشركة إعادة التأمين ملتزمان بدفع المزيد كوسيلة للحد من المخاطر المعنوية اللاحقة. أظهرت الدراسة أن سياسات إعادة التأمين المثلى خطية في إطار كل من مقاييس (VaR)  و (CVaR) . في حين أن هياكل حلول إعادة التأمين المثلى هي نفسها لكل من مقاييس المخاطر، إلا أنها تُظهر أيضًا أن هناك بعض الاختلافات المهمة، لا سيما فيما يتعلق بإدارة مخاطر الذيل.

درس EL-bolkiny et at.(2018) عدة طرق مختلفة لإعادة التأمين النسبي، وكذلك تم تقييم تأثير تلك الطرق على عمليات إعادة تأمين الممتلكات بالتطبيق علي سوق التأمين المصري. وقد استخدمت الدراسة مقاييس الخطر التالية (VaR)، و(CTE) لتحليل خصائص توزيعات المطالبات الإجمالية. وتم تحديد إعادة التأمين المثلي من خلال استخدام مقياس تعظيم العائد علي رأس المال Return on Risk Adjusted Capital  وتوصلت الدراسة إلي أن طريقة إعادة التأمين المثلي هي طريقة الحصص بحد احتفاظ مقداره 40% ، حيث إنها حققت أعلي معدل للعائد ومقداره  5.14% .

قام Putri et al. (2021)  بحساب القسط الثابت بموجب معيار الأقساط المتوقعة. ومن أجل تقليل مخاطر شركة التأمين بموجب القيمة المعرضة للمخاطر (VaR)، قاموا بدمج إعادة التأمين النسبي مع إعادة تأمين وقف الخسارة لحل استراتيجية إعادة التأمين المثلى.

2. 4 نظرية المنفعة Utility Theory

المنفعة هي رقم يقيس الرضا الذي يستمده الفرد من شيء ما. وفي الدراسات الاقتصادية يكون نموذج المنفعة كدالة في الثروة هو النموذج الشائع الاستخدام. تم تطوير نظرية المنفعة المتوقعة من قبل فون نيومان ومورجيسترن von-Neumann-Morgenstern (N-M) في عام (1944) لمعالجة جانب إدارة المخاطر للطلب على إعادة التأمين. يفترض أن شركات التأمين تتجنب المخاطرة وستختار دائمًا إعادة التأمين من أجل القضاء على المخاطر  (Garven & Tennant, 2003)،  استخدم Borch (1962)  هذه النظرية لإظهار أنه إذا كان لدى شركات التأمين نفور مطلق من المخاطرة ، فسوف تطلب إعادة التأمين. قام  Garven and Tennant (2003)  بتوسيع النظرية وناقشوا أن قرار إعادة التأمين يمكن اعتباره كقرار لإدارة المخاطر وهيكل رأس المال. وأضح Mayers and Smith (1990)  أن قرار شركة التأمين بشراء إعادة التأمين يشبه قرار أي شركة غير مالية بشراء التأمين. وقد تكون الدوافع التي تفسر لماذا تتحوط الشركات ماليا ولماذا تطلب شركات التأمين إعادة التأمين هي دوافع متشابهة. ودرس Jiang et al. (2021) تعظيم مصالح كل من شركة التأمين ومعيد التأمين من منظور تعظيم المنفعة المتوقع وتقليل المخاطر.

ثالثا - الاطار النظري لنموذج اتخاذ قرار إعادة التأمين

سيتم استخدام نموذج المنفعة المتوقعة كمعيار للتقييم. وهذا النموذج يفضل على النماذج الأخرى بسبب مرونته ومعالجته الأكثر شمولاً للعناصر المهمة في القرار، حيث يشتمل هذا النموذج على التوزيع الاحتمالي الكامل للمطالبات وتكلفة عملية اسناد الخطر، وموقف المؤمِّن تجاه الخطر. ينتج نموذج المنفعة المتوقع تفضيلات صانع القرار المرجحة على توزيع الخسارة الكامل ولا يستند فقط إلى جزء صغير (وغير محتمل) من توزيع الخسائر كما في النماذج الأخرى.

يقوم النموذج على ما يلي:

إذا كان A_t يمثل الأصول في بداية الفترة ،  A_t+1 تمثل الأصول في نهاية الفترة، من ثم يمكن صياغة العلاقة بينهما على النحو التالي:

حيث:

R_t = دخل الأقساط خلال الفترة

I_t = دخل الاستثمار خلال الفترة

X_t = حجم الخسارة المحققة

O_t = المصروفات خلال الفترة (مصروفات التشغيل، العمولات، ...).

عند اسناد الخطر لمعيد تأمين، يكون الشاغل الرئيسي للمؤمن المباشر هو عدم التأكد المرتبط بالمطالبات، وبالتالي سوف يتم تحديد متغير الأصول A والذي يمثل جميع التدفقات النقدية التي تؤثر على الأصول خلال الفترة باستثناء مطالبات التأمين. من ثم يمكن عرض صافي الأصول في نهاية الفترة على أنها  ، حيث إن:

إذا لم يتم اسناد الخطر، فإن الشركة لديها منفعة متوقعة في نهاية الفترة كما يلي:

 حيث U هي دالة المنفعة،X  هي مطالبات شركة التأمين المسندة، E  هي رمز التوقع.

3. 1 تحليل قرار شراء إعادة التأمين

إذا كان من الممكن شراء إعادة تأمين مقابل قسط إعادة تأمين  ، وكانت Y تمثل المطالبات المحتفظ بها بعد إعادة التأمين، فإن أفضل اتفاقية إعادة تأمين هي تلك التي تحقق الحد الأقصى لدالة المنفعة التالية:

إن استخدام هذا النهج يمكن متخذي قرار إعادة التأمين من معرفة مقدار قيمة عقد إعادة التأمين، قبل الدخول في مفاوضات مع واحد أو أكثر من معيدي التأمين. ولذلك، ينطوي وضع التقييم هذا على حل معادلات عدم وجود فرق بين وضع الشركة بدون إعادة تأمين ووضعها مع وجود إعادة التأمين، من أجل تحديد الحد الأقصى لأقساط إعادة التأمين الذي ستدفعه الشركة، بحيث يكون المؤمن غير مبال indifference بين إعادة التأمين أو عدم إعادة التأمين. ومن ثم لأي فرصة إعادة تأمين محتملة عندما يتم تحويل التزامات المطالبات X  قبل إعادة التأمين إلى صافي التزامات المطالبات Y بعد إعادة التأمين، فإن  يعرف على أنه قسط إعادة التأمين المحدد الذي يجب أن تكون الشركة المسندة على استعداد لدفعه. يمكن صياغة معادلة المنفعة المتوقعة لمؤمن ما لفترة زمنية محددة كما يلي:

تعتبر المطالبات المحتفظ بها Y دالة في توزيع المطالبات الأصلية X ونوع إعادة التأمين ونطاقه. تستخدم المعادلة (1) في توليد الحدود العليا لأقساط إعادة التأمين على الوثائق الفردية أو الجماعية أو لفرع معين، من خلال تقدير دالة كثافة الاحتمال للمطالبات X ، باستخدام البيانات التاريخية والتنبؤات المستقبلية.

ومن الممكن استخدام المعادلة (1) لأي دالة منفعة وأي دالة كثافة احتمال تمثل توزيع المطالبات، وسنوضح فقط طريقة اتخاذ القرار باستخدام دالة منفعة أسية. هذا الاختيار مبنيا على الاستخدام السابق من قبل:

 [Borch (1974), Freifelder (1979) and Samson et al. (1983)]

تختلف دالة كثافة الاحتمال لتوزيع المطالبات حسب أنواع التأمين ذات الأهمية الكبيرة. تأخذ دالة المنفعة الأسية الشكل التالي:

حيث k ثابت يقيس درجة كره أو تجنب المؤمن للمخاطر.

3. 2 حساب الحد الأقصى لقسط إعادة التأمين

يعتمد حساب الحد الأقصي لأقساط إعادة التأمين على توزيع الخسارة. ويختلف توزيع الخسارة لكل نوع من أنواع تأمينات الممتلكات والمسؤولية، غير أنه سوف نستخدم التوزيع الأسي في ايجاد المعادلات الأساسية للدراسة، ثم نعوض بعد ذلك بمعالم كل توزيع في المعادلات الناتجة. يوضح ملحق (B) اشتقاق معادلات الدراسة.

في حالة ترتيبات إعادة تأمين نسبية يكون المبلغ الواجب سداده من قبل المؤمن هو:

حيث F هي نسبة الجزء المحتفظ به.

وتكون دالة كثافة الاحتمال للمتغير Y كما يلي:

ومن ثم تصبح معادلة (1) كما يلي:

الهدف من صياغة هذه المعادلة هو الحصول على قيمة P (قسط إعادة التأمين) الذي يكون المؤمن على استعداد لسداده لمعيد التأمين والذي يعتمد على درجة كره المؤمن للخطر وعلى توزيع الخسارة.

أما في حالة ترتيبات إعادة تأمين لا نسبية مع حد احتفاظ ( C )، يكون المبلغ الواجب سداده من قبل المؤمن هو:            

وتكون دالة كثافة الاحتمال للمتغير Y كما يلي:

ومن ثم تصبح معادلة (1) كما يلي:

ومن حل المعادلة (3) نحصل على قيمة P في حالة الاتفاقية اللانسبية.

3. 3 حساب القيمة المتوقعة لقسط إعادة التأمين

عندما نحصل على قيمة قسط إعادة التأمين ( P ) حسب النموذج المطبق، فيجب أن يتم مقارنته مع القيمة الفعلية المتوقعة لخسارة المؤمن والتي تمثل الأسعار السوقية لإعادة التأمين، حتى يمكن للمؤمن دراسة جدوى إعادة التأمين. يتم حساب القيمة المتوقعة كما يلي:

  نسبي:                        

  لا نسبي:                          

3. 4 اتخاذ قرار إعادة التأمين الأمثل

توجد عدة عوامل تؤثر على قرار إعادة التأمين. ولا يمكن اتخاذ قرار إعادة التأمين في معزل عن الأمور الأخرى بسبب اعتماد كل من الأهداف والقيود على عدد من القرارات المالية وغيرها من القرارات المتعلقة بالمخاطر مثل سياسات تحديد المخصصات والاحتياطيات وقرارات تعديل الأقساط، وحجم فائض الشركة. [Samson et al. (1983)]

غير أنه سوف نفترض في هذه الدراسة أن القرار يتم اتخاذه دون اعتبار العوامل السابقة، وذلك من أجل التركيز على عملية إعادة التأمين والقيمة النسبية لمجموعة البدائل المتاحة. وسوف نعتبر أن أهم العوامل المؤثرة في القرار هي القسط الذي سيدفعه المؤمن ودرجة تجبنه للخطر. وقد يكون المؤمن لديه استعداد لتحمل مخاطر أكبر حيث إنه يتمتع بمركز مالي قوي، وقد يكون مؤمن آخر متجنب للخطر بشكل كبير ومستعد لدفع أي مبلغ لتحويل هذا الخطر لمعيدي التأمين. وقد تكون الأبعاد الأخرى غير تلك المتعلقة مباشرة بالمخاطر ذات قيمة لبعض شركات التأمين. على سبيل المثال، قد تقدر بعض شركات التأمين (الصغيرة على وجه الخصوص) "الخبرة الفنية" التي يمكن لمعيدي التأمين توفيرها.

يتم اتخاذ قرار شراء اعادة التأمين المناسب حسب ما يلي:

أولاً- فحص البدائل واختيار البديل الذي يكون فيه قسط السوق أعلى من قيمة (P) المقابلة. ويتم ذلك بمقارنة الفرق بين أسعار الأقساط السوقية والقسط المحسوب (P)، كلما زاد الفرق كلما كان أفضل.

ثانيا- من خلال حساب المنفعة المتوقعة (EU) لكل خيار، باستخدام أسعار الأقساط لمعرفة الخيار الذي يحتوي على أعلى منفعة متوقعة. ويتم حساب نقطة التعادل على مقياس الأقساط بحيث تكون نقاط المنفعة المتوقعة متكافئة.

رابعا -  التطبيق العملي للنموذج

سوف يتم تطبيق نموذج تحليل قرار شراء إعادة التأمين في الجزء التالي من البحث. تم اختيار الأنواع التالية من تأمينات الممتلكات والمسؤوليات في شركة مصر للتأمين:

• تأمين الحريق
• تأمين البحري
• تأمين السفن
• تأمين الطيران
• التأمين
• الهندسي
• تأمين البترول

سوف نتوصل لتوزيع المطالبات المناسب لكل نوع من أنواع التأمينات السابقة، باستخدام البرنامج الإحصائي R. يعرض ملحق (A) الصياغة المستخدمة لكود البرنامج.

1. تأمين الحريق

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه توزيع معكوس جاما "Inverse Gamma"  .

تأخذ شكل دالة الكثافة الاحتمالية لهذا التوزيع ما يلي:

توزيع معكوس جاما عبارة عن توزيع ذات معلمتين من التوزيعات الاحتمالية المستمرة على الخط الحقيقي الموجب، وهو توزيع مقلوب المتغير الذي يتبع توزيع جاما، ولذلك فإنه يناسب أحيانا تمثيل خسائر التأمين مثل توزيع جاما. [Kaas, et al., 2009]

بدراسة بيانات التعويضات في فرع الحريق في شركة مصر للتأمين، تم تقدير معلمات توزيع معكوس جاما وحساب متوسط حجم الخسارة، حيث بلغ (199.175) مليون جنيه.

يوضح جدول (1) استخدام حدود ونسب احتفاظ مختلفة، مع درجات مختلفة لتجنب الخطر متدرجة من الأدنى للأعلى، لحساب قيم أقساط إعادة التأمين التي يجب على المؤمن سدادها لمعيد التأمين وفقا لمقدار احتفاظه من الخطر ودرجة كرهه للخطر.

كذلك تم احتساب القيمة المتوقعة للخطر، وهي تعادل سعر الخطر السوقي وذلك في ظل أن المؤمن غير مبال بالخطر أو لديه اتجاه محايد تجاه الخطر.

جدول (1) أقساط إعادة التأمين لتأمين الحريق            (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحثة

يتضح من الجدول السابق أنه كلما زاد احتفاظ المؤمن من الخطر كلما قلت تكلفة إعادة التأمين، وهذا أمر متوقع. وكلما زادت درجة كره المؤمن للخطر ومحاولة تجنبه كلما زاد الجزء المسند لإعادة التأمين، وكلما زاد قسط إعادة التأمين الذي سيكون المؤمن على استعداد لسداده والتضحية بجزء من أرباحه.  أي أن المؤمن هنا سيضحي بقسط إعادة تأمين - والذي يعتمد على نوع الاتفاقية وتوزيع الخسارة ومقدار الاحتفاظ  مقابل أن معيد التأمين سيتشارك معه في سداد الخسائر.

بناء على جدول (1)، يمكن اتخاذ قرار شراء اعادة التأمين المناسب حسب ما يلي:

أولاً- من خلا فحص البدائل وبمقارنة الفرق بين أسعار الأقساط السوقية والقسط المحسوب P. من الواضح أن الأقساط المحسوبة أكبر دائما الأقساط السوقية، وتزيد الفروق كلما زادت درجة تجنب الخطر. وبناء على ذلك فإن أفضل وضع أن تكون درجة كره المؤمن للخطر هي       (k = 0.00001)

ثانيا -  من خلال حساب المنفعة المتوقعة (EU) لكل خيار:

في حالة الاتفاقية النسبية:

في حالة الاتفاقية اللا نسبية:

إذا اختارت الشركة ابرام اتفاقية نسبية بحد احتفاظ 20%، فسوف تكون منفعتها المتوقعة مع k=0.00001 ، وبدون اعتبار قيمة أصول الشركة (A) هي:

أما إذا اختارت الشركة اتفاقية لا نسبية بحد احتفاظ 80 مليون جنيه فسوف تكون المنفعة المتوقعة كما يلي:

يمكن لمعيد التأمين استخدام المعلومات المكتسبة من استخدام هذه الطريقة لفحص البدائل ومقارنتها، وكقاعدة معلومات للتفاوض مع معيدي التأمين والوسطاء. ويتم حساب نقطة التعادل على مقياس الأقساط بحيث تكون نقاط المنفعة المتوقعة متكافئة.

وإيجازا لما سبق، يمكن لصانع القرار استخدام هذا النهج للحصول على نظرة ثاقبة ورؤى حول الأفضلية النسبية لمختلف بدائل إعادة التأمين. ويمكنه أيضًا أن يرى كم تزيد أقساط صفقة إعادة التأمين التي أبرمها عن القيمة المتوقعة لإعادة التأمين، وما إذا كانت "صفقة جيدة" من حيث الشروط مقارنة مع قيمة P المناسبة.

أوضحنا سابقا أن قرار شراء إعادة التأمين سوف يتم اتخاذه في معزل عن الأمور الأخرى الخاصة بالمؤمن. ولكن عند مقارنة البدائل واخيار البديل المناسب لابد من اعتبار الامور الأخرى للمؤمن. فقد يدل حجم المنفعة المتوقعة لمؤمن ما على أن هذا الاختيار هو الأمثل بالنسبة للمؤمن، ولكن عند اعتبار فائض المؤمن، وحجم اعماله الأخرى وخبرة الخسارة وغيرها من الأمور، من الممكن ألا يكون هذا القرار هو الأمثل ويختار بديل يحقق منفعة أقل ولكنه يناسب وضعه المالي وخبرته، لاسيما إذا كان المؤمن ذو حجم صغير أو مؤمن جديد في مجال العمل. ففي مثل هذه الأحوال سيكون المؤمن متجنب للخطر بدرجات أعلى وعلى استعداد لسداد تكلفة أكبر لتجنب الخطر وتحويله لمعيد التأمين. النقطة الأساسية التي يركز عليها البحث هي أن يكون المؤمن على دراية بالحد الأقصى لقسط إعادة التأمين الذي يجب عليه سداده، ومن ثم يستطيع دراسة وتحليل قراره والتفاوض مع معيدي التأمين في ظل هذه المعلومات. سوف يتم مقارنة البدائل لبقية أنواع التأمين بالمثل.

2. التأمين البحري

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه توزيع وايبل من النوع الثاني

"Weibull type 2". تأخذ شكل دالة الكثافة الاحتمالية لهذا التوزيع ما يلي:

يعتبر توزيع  Weibull  نموذجًا متعدد الاستخدامات لنمذجة الخسارة في التأمينات العامة، نظرًا لمدى ملاءمته لنمذجة البيانات بشكل مناسب لأنه يتميز بدرجة عالية من الالتواء الموجب والتي تعد من الخصائص النموذجية لمبالغ المطالبات[Das, et al. (2019)] . فهذا التوزيع له ذيل ممتد يمثل المطالبات الكبيرة التي تمثل تهديدا على سلامة المؤمن المالية والتي يولي لها المؤمن قدرا كبيرا من الاهتمام عند اتخاذ قرار بخصوص اسناد الخطر. وتوزيع وايبل له ثلاثة أنواع، [Weibull type 1, Weibull type 2, Weibull type 3]، وجميعها تمثل على خط الأعداد الحقيقية الموجب وذات إلتواء جهة اليمين.

بدراسة بيانات التعويضات في فرع البحري في شركة مصر للتأمين، تم تقدير متوسط حجم الخسارة بمبلغ (46.8361) مليون جنيه.

جدول (2) أقساط إعادة التأمين لتأمين الطيران            (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحثة

3. تأمين السفن

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه توزيع وايبل "Weibull"  . تأخذ شكل دالة الكثافة الاحتمالية لهذا التوزيع ما يلي:

بدراسة بيانات التعويضات في فرع السفن في شركة مصر للتأمين، تم تقدير متوسط حجم الخسارة بمبلغ (54.40744) مليون جنيه.

جدول (3) أقساط إعادة التأمين لتأمين السفن            (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحثة

4. تأمين الطيران

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه التوزيع الأسي "Exponential"  . تأخذ شكل دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الأسي ما يلي:

ويتميز التتوزيع الأسي بذيل خففيف ملتو ناجية اليمين، وأنه توزيع منعدم الذاكرة، حيث يتساوى وسطه مع انحرافه المعياري.

بدراسة بيانات تعويضات تأمين الطيران في شركة مصر للتأمين، تم تقدير متوسط حجم الخسارة بمبلغ (270.2723) مليون جنيه، ويعتبر الأعلى بين تعويضات الفروع المختلفة.

يوضح جدول (4) التالي حسابات أقساط إعادة التأمين عند كل درجة من درجات تجنب الخطر وعند حدود ونسب الاحتفاظ المختلفة.

 جدول (4) أقساط إعادة التأمين لتأمين الطيران          (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحث

5. التأمين الهندسي

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه توزيع معكوس جاوس "Inverse Gaussian". تأخذ شكل دالة الكثافة الاحتمالية لهذا التوزيع ما يلي:

تشبه خصائص هذا التوزيع خصائص توزيع جاما والتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي. يوصى أحيانًا بتوزيع معكوس جاوس كنموذج لخسائر التأمين، لأنه شديد الالتواء جهة اليمين. [Clark, et al. 2004]

بدراسة بيانات تعويضات تأمين الطيران في شركة مصر للتأمين، تم تقدير متوسط حجم الخسارة وفقا لتوزيع مكعوس جاوس بمبلغ (92.55567) مليون جنيه.

جدول (5) أقساط إعادة التأمين للتأمين الهندسي            (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحثة

6. تأمين البترول

بداراسة التوزيع المناسب للبيانات اتضح أنه التوزيع الأسي "Exponential" .

بدراسة بيانات تعويضات تأمين الطيران في شركة مصر للتأمين، تم تقدير متوسط حجم الخسارة بمبلغ (250.1567) مليون جنيه.

 جدول (6) أقساط إعادة التأمين لتأمين البترول     (بالمليون جنيه)

المصدر: من إعداد الباحثة

 النتائج والتوصيات:

تناولت هذه الدراسة تحليل  قرار إعادة التأمين بالنسبة لشركات التأمين المباشرة. يعتبر هذا القرار معقدا حيث يتضمن العديد من البدائل والحالات المختلفة. وقامت الدراسة على استخدام نماذج تحليل القرار المبنية على دالة المنفعة للمؤمن والتوزيع الاحتمالي للمطالبات، حيث إن هذه النماذج تكون مفيدة في كل من هيكلة وتقييم حالة اتخاذ قرار إعادة التأمين.

تم تطبيق هذه الدراسة على الأنواع الرئيسية من تأمينات الممتلكات والمسؤولية في شركة مصر للتأمين وذلك للفترة من 2007/2008 وحتى 2020/2021 م. الأنواع التي تم دراستها هي:

تأمين الحريق، التأمين البحري، تأمين السفن، تأمين الطيران، التأمين الهندسي، تأمين البترول.

وأهم ما توصلت اليه الدراسة ما يلي:

- اشتقاق معادلة حساب أقساط إعادة التأمين باستخدام دالة منفعة أسية، ودالة توزيع احتمالي للمطالبات أسية.

-  بناء على بيانات المطالبات، ومخرجات برنامج R تم التوصل الى التوزيع الاحتمالي لكل نوع من أنواع التأمين تحت الدراسة وتقدير معالمهم كما يلي:

تعبر هذه التوزيعات من العائلة الأسية، ومن ثم تم استخدام التوزيع الأسي كأساس لاشتقاق المعادلات الخاصة ببقية التوزيعات التي تم استخدامها في الدراسة.

- من خلال فحص البدائل لاختيار البديل الأفضل، حيث يكون قسط السوق أعلى من قيمة P المقابلة. ويتم ذلك بمقارنة الفرق بين أسعار الأقساط السوقية والقسط المحسوب P، أو من خلال حساب المنفعة المتوقعة (EU) لكل خيار، باستخدام أسعار الأقساط لمعرفة الخيار الذي يحتوي على أعلى منفعة متوقعة.

وأهم ما توصي به الدراسة فهو:

اعتماد نماذج تحليل القرار في اتخاذ القرارات المتعلقة بعمليات التأمين عموما، حيث إن هذه النماذج تمكن متخذ القرار من الحصول على نظرة ثاقبة ورؤى حول الأفضلية النسبية لمختلف البدائل، وسهولة المقارنة واختيار الأفضل.